Hoy vamos a hablar de una paradoja acerca de una figura geométrica concreta, el cuerno de Gabriel.
Fue ideada por Evangelista Torricelli hacia 1641, que la bautizó como sólido hiperbólico agudo.
Fue ideada por Evangelista Torricelli hacia 1641, que la bautizó como sólido hiperbólico agudo.
Comenzaremos hablando de la superficie de esta figura, para ello usaremos la función 1/x y mediante su giro de revolución generaremos el cuerno de Gabriel, esto es similar al giro de un rectángulo para formar un cono.
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| Función 1/x |
Bien, vamos a comprobar la tendencia del área, que llamaremos G por ejemplo, comprendida entre el eje x y la función a partir de x=1 hasta infinito.
Aquí únicamente hemos realizado la integral entre 1 e infinito y como podemos ver, la superficie tiende a infinito, es decir, nunca llegará a tocar el eje x que vemos en la gráfica de arriba.
Como hemos dicho antes, al girar esa figura obtenemos la trompeta de Torricelli, que tendrá, vamos a suponer una superficie infinita gracias a los cálculos que hemos hecho anteriormente.
Obtenida esta figura, vamos a calcular la tendencia de su volumen, al que llamaremos T de Torricelli haciendo otra integral entre x=1 e infinito.
Hemos hecho la integral de su volumen, el radio es 1/x y la altura son los diferenciales de x, es cierto que cometemos un error pues estamos cogiendo superficies circulares cuando en verdad la figura está formada por infinitos conos truncados, aun así esto no altera el resultado, esto lo veremos en otro momento.
Vemos que el volumen de esta figura es el número pi, es decir, la figura tiene un volumen finito.
Y aquí encontramos la gracia de la supuesta paradoja, una figura con un volumen finito y una superficie infinita, esto lo que quiere decir es que si por ejemplo pintásemos la figura, necesitaríamos infinita pintura para cubrir su superficie pero una cantidad finita para llenarla.
Antes he comentado lo de supuesta paradoja porque en verdad si tiene solución.
La solución de la paradoja es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor invariable. Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el final del cuerno.
Ya que la duda que le surge a todo el mundo es que como es posible que la pintura no cubra la superficie por fuera de la trompeta y si la cubra por dentro.
Con una pintura con grosor variable, que variase con la superficie en pequeños diferenciales si sería necesaria pintura infinita.
En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.
Si aun así no has quedado convencido, la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existiesen los átomos). Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.
En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.
Si aun así no has quedado convencido, la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existiesen los átomos). Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.
Esta entrada debería haberla puesto en mi blog de matemáticas ya que principalmente trata la integración pero es tan interesante que he decidido compartirla aquí, espero que te haya gustado y te haya parecido interesante.
Si tienes alguna duda, puedes dejármela en los comentarios.
Gracias.
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