MECÁNICA CUÁNTICA MATRICIAL(PRIMEROS CONCEPTOS)

La Mecánica Cuántica es el lenguaje utilizado por los científicos para describir las cosas de las que está hecho el mundo y la manera en la que interactúan. Es el lenguaje de la física atómica, molecular, nuclear, estado sólido y de partículas.
La Mecánica Cuántica hace una distinción muy clara entre una cantidad física y los valores que puede tomar.
En la Mecánica Cuántica Matricial, toda cantidad es representada mediante una matriz, y las cantidades que relacionan diferentes cantidades físicas son escritas empleando matrices en lugar de valores específicos que representan números. Para cada estado, algunas cantidades tienen valores definidos mientras que otras no los tienen.
En esta entrada vamos a explorar las bases generales sin profundizar  de momento en exceso en las mismas.

Para explicar como funcionan los resultados matriciales empecemos poniendo un ejemplo:
Partamos de las variables de posición(x) y momento(p), tan conocidas y estudiadas en el principio de incertidumbre de Heisenberg.
Bien, estas variables no están cuantizadas, pueden tomar cualquier valor, no obstante la energía de un oscilador armónico, que es una combinación de los cuadrados de la posición, está cuantizada, no tiene un rango continuo de valores.
Esto únicamente sucede por el hecho de expresar la energía del sistema como una ecuación matricial y no pasaría si la fórmula fuese expresada de manera tradicional.
Pero comentemos esa fórmula tradicional y empecemos a desarrollarla:

Si en esta ecuación clásica reemplazamos las variables continuas x y p con las matrices Q y P, obtendremos lo siguiente:

Recordemos que k=m·w·w

En esta ecuación matricial, en el primer término podemos considerar al factor mω²/2 multiplicando cada uno de los elementos de la matriz Q², mientras que en el segundo término podemos considerar al factor 1/2m dividiendo cada uno de los elementos de la matriz P².

Al hacer esto, no tardaremos en descubrir (esto lo veremos después en mayor detalle) que automáticamente se lleva a cabo la discretización de los valores posibles de la energía que puede tomar el oscilador armónico simple.

Pero, ¿Cómo sacar esos valores posibles?

Resulta que muchas matrices, además de los valores numéricos obvios que vemos puestos a lo largo de sus renglones y sus columnas, están caracterizadas por un conjunto muy específico de valores propios a cada matriz, como si esos valores fuesen sus “huellas digitales”, su ADN matemático, especialmente tratándose de matrices que representan cantidades físicas.

Esto es muy importante puesto que prácticamente de cualquier ecuación pueden obtenerse esos valores que podrían comprobarse experimentalmente en un laboratorio.

Pongamos un ejemplo, tomemos una matriz que representa cualquier ecuación con resultados físicos reales y medibles:

Esta primera matriz ha sido transformada en una matriz equivalente mediante cualquier tipo de proceso, el más común es el método de Gauss, no obstante hablaremos de operaciones con matrices en el blog de matemáticas próximamente.

Bien, la matriz transformada, como podemos observar mantiene unos valores en su diagonal, los llamados autovalores o valores eigen.

Los autovalores o valores propios eigen de una matriz son los valores que puede tomar la cantidad física que está representando, son las observables que podemos medir en un laboratorio.

Más aún, los elementos diagonales de una matriz diagonalizada son los valores característicos propios (eigen) de la matriz original.

En el ejemplo de arriba, la matriz posee como valores eigen 0, 1, 3 y 4.

Es su “ADN matemático”.

Dada una matriz A cualesquiera, siempre podemos encontrar sus autovalores eigen r montando con algún vector X = (x₁,.x₂,.x₃,....) la ecuación (propia) de eigenvalores:

AX = rX

y encontrando (resolviendo el conjunto de ecuaciones lineares simultáneas que nos resultan) las raíces r que hacen cierta esta ecuación matricial.

Para cualquiera de las dos matrices en el ejemplo de arriba, los valores son r.=.0, 1, 3 y 4.

Esto es mas complejo y podrá ser visto más adelante en posteriores entradas.

Si una matriz diagonal que representa una cantidad física tiene entradas repetidas, valores eigen repetidos, tenemos entonces lo que se conoce como una degeneración.

En esta matriz encontramos el valor 3 doblemente degenerado y el valor 7 tres veces degenerado.

Repasando la ecuación matricial:

AX = rX

vemos que, siendo igual el vector X en ambos lados de la ecuación, en el lado izquierdo de la ecuación la matriz A funciona como un operador matemático actuando sobre el vector X, mientras que en el lado derecho tenemos los autovalores eigen que hacen cierta a la ecuación matricial.

Siendo r una constante numérica, un valor que podemos medir con algún aparato de laboratorio, podemos interpretar a A como un operador que, sin cambiarle su dirección o sentido al vector X, simplemente nos aumenta o nos acorta la longitud del vector X.

Pero los cambios posibles en la longitud del vector X no pueden ser arbitrarios, están confinados a ciertos valores fuera de los cuales la ecuación propia de autovalores no tiene solución, los valores eigen.

Vayamos a otra parte importante de esta mecánica matricial.
Frecuentemente encontraremos matrices algunas de cuyas entradas pueden ser números imaginarios o complejos.

¿Pero cómo es posible que una matriz tal pueda representar cantidades físicas que puedan ser medidas en un laboratorio con instrumentos en donde las cantidades imaginarias o complejas carecen de sentido?

La respuesta es: en los eigenvalores propios de la matriz.

Si los valores eigen de una matriz son cantidades reales aunque las entradas de la matriz sean cantidades imaginarias o complejas, entonces la matriz representará un sistema físico real.

Como un ejemplo de ello tenemos la siguiente matriz α conocida como matriz de Dirac, en la cual sus entradas, que no son iguales a cero son cantidades imaginarias:

Los valores de esta matriz de Dirac son:

Estos valores se pueden obtener mediante un transconjugado de la matriz, eso es con una matriz transpuesta y conjugada, llamada también matriz adjunta.

Una vez obtenidos esos valores eigen no queda más que colocarlos en la diagonal.

Estos cálculos serán traídos en entradas posteriores y mas complejas.

Únicamente comentar que si el transjugado de una matriz es igual a la matriz, esta será considerada como matriz Hemirtiana y por tanto sus valores eigen serán reales.

Basta con el solo hecho de que una matriz sea Hermitiana para que esté garantizado que los valores propios eigen de la matriz serán números reales y no complejos o imaginarios. En esto radica la enorme importancia de las matrices Hermitianas para la Mecánica Cuántica.

Para saber esto es necesario sacar el conjugado complejo de la matriz, algo que tampoco haremos ahora mismo.

Nos falta un cabo suelto por atar.

La solución del oscilador armónico simple mediante los postulados de Bohr (con la ayuda de la regla de cuantización ó cuantificación Wilson-Sommerfeld) discretiza los valores posibles de la energía como E.=.nhω/2π, pero nos da una infinitud de ellos al poder tomar n cualquier valor entero desde uno hasta el infinito.

Si los autovalores eigen de la matriz H que representa la energía de un oscilador armónico simple forman un conjunto infinito, entonces la matriz H y por ende las matrices Q y P deben ser matrices infinitas.

Esto nos exige ya extender los alcances del Álgebra Lineal enseñada en las instituciones de educación superior de espacios vectoriales finitos a espacios vectoriales infinitos.

Es decir, que también tendrá que ser traído al blog más adelante.

En definitiva con matrices esa ecuación obtuvo resultados cuantizados que con las ecuaciones tradicionales no habría obtenido, además de obligarnos a decir que las matrices que nos otorgan estos resultados deberían ser infinitas.

Como vemos, hay mucho por entender y explicar de la mecánica matricial pero espero que un poco de las bases haya sido asentado.

Ante cualquier duda, podéis dejármela en los comentarios.

Y si queréis echarle un vistazo a la ecuación de Max Born, muy relacionada con lo visto hoy, os dejo el enlace aquí:ECUACIÓN MAX BORN

Gracias.

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