FLUJO DE UN CAMPO ELÉCTRICO:LEY DE GAUSS

Una vez hemos hablado de los primeros conceptos de un campo eléctrico,
CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE COULOMB
pasamos a explicar que es el flujo de un campo eléctrico.
El flujo eléctrico se define como el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una determinada superficie y se muestra en la fórmula siguiente:

El vector S tiene de módulo el área de la superficie y de dirección la perpendicular a la misma.
El flujo de un campo eléctrico es simplemente una magnitud escalar que, como hemos dicho, representa gráficamente las líneas de campo que la atraviesan.
¿Qué ocurre cuando el campo eléctrico no es uniforme?

Cuando el campo eléctrico no es uniforme, se divide la superficie en superficies elementales

,

de forma que el campo eléctrico sea prácticamente uniforme en cada elemento de superficie. Si la superficie no es plana, el sentido del vector

es de la parte cóncava a la convexa. El flujo elemental del campo que atraviesa cada elemento de superficie es:

El flujo a través de la superficie es igual a la suma de los flujos elementales:

Y si la superficie es cerrada:

LEY DE GAUSS

La ley de Gauss indica que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga total encerrada en dicha superficie.

Aunque a la hora de calcular el campo eléctrico generado por ciertas superficies cargadas es posible hacer uso de la ley de Coulomb, en muchas ocasiones resulta más sencillo utilizar el teorema de Gauss sobre el flujo eléctrico.

Pasemos a comprobarlo.

El caso más simple para calcular el flujo eléctrico es el del campo creado por una carga q contenida en una esfera de radio r.

El módulo del campo eléctrico es el mismo en todos los puntos de la superficie esférica y su dirección es radial, por lo que en todos los puntos de la superficie los vectores

son paralelos. El flujo del campo eléctrico que pasa a través de la superficie esférica de radio r es:

En el caso de que dentro de la superficie existiesen varias cargas eléctricas, cada una de ellas crea su propio campo eléctrico y, en consecuencia, su propio flujo eléctrico es igual a la suma de los debidos a cada carga.

Bien, con la fórmula deducida ya:

deducimos que el flujo del campo eléctrico que atraviesa una superficie esférica cerrada es independiente del radio de la esfera considerada y su signo coincide con el signo de la carga encerrada.

El flujo que atraviesa una superficie es independiente de la forma de la misma y de la distribución de la carga en su interior. La carga eléctrica situada fuera de la superficie cerrada no contribuye al flujo total.

CAMPO EN EL INTERIOR DE UN CONDUCTOR EN EQUILIBRIO

Cuando disponemos de un conductor que posee una exceso de carga q, dicha carga comenzará a distribuirse de tal forma que se minimicen las fuerzas de repulsión y todas ellas queden en reposo.
Si no hay movimiento de cargas quiere decir que no existe un campo eléctrico que las lleve a moverse.

El campo eléctrico en el interior de un conductor electrostático es nulo.

Imagina por un momento que aplicásemos una superficie gaussiana de igual tamaño que la del conductor.
Como el campo eléctrico es nulo en su interior, el flujo de líneas de campo a través de la superficie gaussiana será igualmente nulo. S
Si aplicamos, la expresión del teorema de Gauss:

Como podemos comprobar la carga neta en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es nula.
La carga eléctrica de un conductor cargado por el que no pasa una intensidad de la corriente eléctrica uniformemente distribuida sobre su superficie.

CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA LÁMINA CARGADA UNIFORMEMENTE
Imagina una lámina conductora cargada uniformemente cuya densidad superficial de carga es σ (σ=Q/S).
El campo eléctrico generado por una lámina cargada uniformemente en un punto cuya distancia sea despreciable con respecto a su tamaño se obtiene por medio de la siguiente expresión:

E=σ2⋅ε

donde:
E es la intensidad del campo eléctrico en un punto muy próximo a la lámina.
σ es la densidad superficial de carga de la lámina.
ε es la permitividad del medio en el que se encuentra la lámina.

Para determinar el valor de la intensidad del campo eléctrico en cada punto próximo a nuestra lámina utilizaremos el teorema de Gauss y la definición de flujo eléctrico sobre una superficie cerrada. Pero previamente, haremos unas consideraciones previas.

En esencia, toda la carga de la lámina se puede ver como la unión de parejas de cargas simétricas (una y otra situadas en lados opuesto de la lámina), de tal forma que en cada punto próximo a ella, las componentes del campo eléctrico perpendiculares al radio de todas las parejas de cargas se anulan, haciendo que el campo eléctrico resultante esté formado únicamente por las componentes que siguen una dirección perpendicular a la superficie de la lámina.

Si utilizamos el teorema de Gauss para determinar el valor de E.

Escogemos una superficie cerrada que envuelva al objeto que crea el campo eléctrico. Dicha superficie denominada superficie gaussiana debe poseer un área fácil de obtener y debe ser perpendicular a dicho campo eléctrico.

Aplicamos la expresión general del flujo eléctrico para cualquier tipo de superficie. Aquí tendremos en cuenta que el flujo total que atraviesa el paralelepípedo es la suma de los flujos que atraviesan todas sus caras. Sin embargo, dado que las líneas de campo solo atraviesan S1 y S2, el flujo eléctrico en el resto de caras es nulo.

ΦE=ΦS1+ΦS2

En nuestro caso como en ambas bases  E→  y dS→  son paralelos, su producto escalar E→⋅dS→ = E⋅S⋅cos 0 = E⋅S

ΦE=ΦS1+ΦS2=∮SE→⋅dS→+∮SE→⋅dS→=2∮SE⋅dS =2 E⋅∮SdS = 2⋅E⋅S

El valor obtenido en el punto anterior se iguala a la expresión del teorema de Gauss. En nuestro caso, tendremos en cuenta que σ=Q/S.

ΦE= Qε=σ⋅Sε

Por tanto:

σ⋅Sε=2⋅E⋅S⇒E= σ2⋅ε

CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UN HILO CARGADO UNIFORMEMENTE
Imagina un hilo uniformemente cargado cuya densidad lineal de carga es λ (λ=Q/L).

El campo eléctrico generado por una distribución lineal de carga (hilo uniformemente cargado) en un punto próximo a él:

E=λ2⋅π⋅ε⋅d

donde:
E es la intensidad del campo eléctrico en un punto P.
λ es la densidad lineal de carga del hilo.
ε es la permitividad del medio en el que se encuentra el hilo.
d es la distancia al punto donde se calcula el campo eléctrico.

Si utilizamos el teorema de Gauss para determinar el valor de E, es común seguir los siguientes pasos:

Escogemos una superficie cerrada que envuelva al objeto que crea el campo eléctrico. Dicha superficie denominada superficie gaussiana debe poseer un área fácil de obtener y debe ser perpendicular a dicho campo eléctrico. En nuestro caso, parece evidente que la superficie gaussiana debería ser el cilindro "virtual".

Aplicamos la expresión general del flujo eléctrico para cualquier tipo de superficie. Aquí tendremos en cuenta que el flujo total que atraviesa el cilindro es la suma de los flujos que atraviesan todas sus caras. Sin embargo, dado que las líneas de campo solo atraviesan los laterales, el flujo eléctrico por las bases es nulo.

ΦE=ΦB+ΦL+ΦB ⇒ΦE = ΦL

En nuestro caso como en el el lateral E→  y dS→  son paralelos, su producto escalar E→⋅dS→ = E⋅S⋅cos 0 = E⋅S :

ΦE=ΦL =∮SLE→⋅dS→=∮SLE⋅dS =E⋅∮SLdS = E⋅SL

Teniendo en cuenta que la superficie lateral de un cilindro es SL=2·π·R·h

ΦE= E⋅SL = E⋅2⋅π⋅R⋅h

El valor obtenido en el punto anterior se iguala a la expresión del teorema de Gauss. En nuestro caso, tendremos en cuenta que λ=Q/L.

ΦE= Qε=λ⋅Lε

Por tanto, si consideramos que d es la distancia al punto donde medimos la intensidad del campo eléctrico d = R:

λ⋅Lε=E⋅2⋅π⋅d⋅h⇒E= λ2⋅π⋅ε⋅d

De momento esto es todo, espero que os haya servido para aprender nuevas cosas y disfrutar de los campos eléctricos en la física.

Como podéis observar, esto no es muy complejo, si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.