LA ECUACIÓN DE MAX BORN

Max Born fue un matemático y físico alemán.
Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1954 por sus trabajos en mecánica cuántica, que compartió con el físico alemán Walter Bothe.

A su muerte, dejó grabada en su lápida una extraña ecuación.

Está ecuación es:pq - qp = h/2πi.

A priori nos encontramos con una incoherencia bastante obvia pues vemos que los factores p y q están siendo multiplicados con distinto orden y restados lo que nos tendría que ofrecer un resultado de 0 siguiendo las reglas que todo el mundo sabe de la propiedad conmutativa.(El orden de los factores no altera el producto).

Sin embargo el resultado como podemos ver no es 0, entonces no nos queda más que pensar dos cosas: O Max Born se ha equivocado en una de las cosas más básicas de las matemáticas o que con estos factores el orden sí altera el producto.

Bien, se preguntó a la gente del lugar sobre esta extraña inscripción que dejó Born y comentaron que la p representaba algo que tenía que ver directamente con la posición mientras que la q representaba algo que tenía que ver con la velocidad, esto son dos cantidades físicas que en principio se pueden medir con los instrumentos adecuados, una posición y una velocidad, sin embargo el resultado como podemos observar no es 0 al realizar la propiedad conmutativa de dos cantidades.

No solo no es 0 sino que observamos el número i, siendo este la raíz de -1 y la base clave de los números imaginarios.

¿Cómo es posible que la propiedad conmutativa de dos cantidades físicas medibles no solo no es 0 sino que encima esta relacionada con una cantidad imaginaria?

Esta ecuación no solo le valió a Max Born el Nobel de Física sino que representa una de las bases más importantes de la mecánica cuántica y está íntimamente relacionada con la mecánica matricial de Heisemberg.

Antes de continuar vamos a compactar un poco esa fórmula y para ello usaremos la definición de conmutador que podéis aprender aquí:CONMUTADOR Y ANTICONMUTADOR

Compactándola quedaría así:

[p, q] = h/2πi

Si usamos la constante de Dirac para formar la constante de Planck cruzada podemos compactarla más:

Esto ciertamente está en una forma mucho más compacta, mucho más memorizable.

Pero no nos aclara el misterio de cómo dos cosas que están directamente relacionadas con cantidades físicas que podemos medir en un laboratorio pueden ser cantidades tales que el producto qp sea diferente del producto pq, y mucho menos nos aclara cómo el símbolo base de los números imaginarios pudo haber entrado aquí.

Estas cosas sin sentido tienen desde luego una explicación, y la explicación es que las cantidades a las que nos estamos refiriendo no representan cosas que estamos acostumbrados a ver y medir en el mundo macroscópico que nos rodea, representan cosas del mundo ultramicroscópico, el mundo de los átomos y las moléculas.

Pero desde luego empezamos a vislumbrar una explicación cuando nos damos cuenta que los factores p y q pueden ser matrices, sabiendo además que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

La última ecuación que se ha dado arriba puede considerarse como la piedra angular de la Mecánica Cuántica.

La importancia de la ecuación deriva en que todo, absolutamente todo lo que sabemos y conocemos en la Mecánica Cuántica puede ser explicado o derivado a partir de esta ecuación sencilla.

Una de las fórmulas básicas de Heisemberg podía ser escrita así y de esta ecuación salió su mecánica de matrices, además se destacó con esta ecuación:

-La energía se conservaba.

-La matriz H es diagonal y sus elementos diagonales son las energías de los estados estacionarios.

-El postulado de Bohr sobre la emisión y absorción de luz por un átomo se puede formular en esa teoría de forma clara.

De esto hablaremos en posteriores entradas.

La ecuación, tal y como está dada, si la interpretamos de modo tal que las dos cantidades p y q especificadas dentro del conmutador sean matrices, presenta un pequeño problema de interpretación, en virtud de que en el lado izquierdo de la ecuación tenemos una matriz y en el lado derecho tenemos lo que parece ser un valor numérico en lugar de una matriz.

Para los creadores de la Mecánica Cuántica esto nunca representó ningún problema, porque se sobreentendía que el lado derecho de la ecuación estaba multiplicado a una matriz identidad que hoy representamos con la letra I.

Este símbolo no aparece en la ecuación original de Max Born porque para él y para otros en su época era claro que en el lado derecho de la ecuación matricial lo que se tenía eran los valores de una matriz identidad cuyos elementos diagonales son precisamente el valor numérico escrito en la ecuación. Pero para nosotros en nuestra época, acostumbrados a un formalismo más riguroso, estas aparentes omisiones nos pueden ocasionar alguna confusión si no estamos absolutamente seguros de aquello de lo que estamos hablando.

Con esto en mente, podemos enunciar una ecuación “corregida”, más a nuestro gusto, de la manera siguiente, para que no haya dudas en la interpretación de la misma:

La verdad es que en la física cuántica tienen mucha repercusión las matrices y de ellas vamos a hablar en entradas posteriores, comentaremos su uso para determinar valores en ecuaciones y hablaremos de sus valores propios o eigenvalores.


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