PARADOJA DE LA TROMPETA DE TORRICELLI O CUERNO DE GABRIEL

Hoy vamos a hablar de una paradoja acerca de una figura geométrica concreta, el cuerno de Gabriel.
Fue ideada por Evangelista Torricelli hacia 1641, que la bautizó como sólido hiperbólico agudo.

Comenzaremos hablando de la superficie de esta figura, para ello usaremos la función 1/x y mediante su giro de revolución generaremos el cuerno de Gabriel, esto es similar al giro de un rectángulo para formar un cono.

Función 1/x

Bien, vamos a comprobar la tendencia del área, que llamaremos G por ejemplo, comprendida entre el eje x y la función a partir de x=1 hasta infinito.

Aquí únicamente hemos realizado la integral entre 1 e infinito y como podemos ver, la superficie tiende a infinito, es decir, nunca llegará a tocar el eje x que vemos en la gráfica de arriba.

Como hemos dicho antes, al girar esa figura obtenemos la trompeta de Torricelli, que tendrá, vamos a suponer una superficie infinita gracias a los cálculos que hemos hecho anteriormente.

Obtenida esta figura, vamos a calcular la tendencia de su volumen, al que llamaremos T de Torricelli haciendo otra integral entre x=1 e infinito.

Hemos hecho la integral de su volumen, el radio es 1/x y la altura son los diferenciales de x, es cierto que cometemos un error pues estamos cogiendo superficies circulares cuando en verdad la figura está formada por infinitos conos truncados, aun así esto no altera el resultado, esto lo veremos en otro momento.

Vemos que el volumen de esta figura es el número pi, es decir, la figura tiene un volumen finito.

Y aquí encontramos la gracia de la supuesta paradoja, una figura con un volumen finito y una superficie infinita, esto lo que quiere decir es que si por ejemplo pintásemos la figura, necesitaríamos infinita pintura para cubrir su superficie pero una cantidad finita para llenarla.

Antes he comentado lo de supuesta paradoja porque en verdad si tiene solución.

La solución de la paradoja es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor invariable. Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el final del cuerno.

Ya que la duda que le surge a todo el mundo es que como es posible que la pintura no cubra la superficie por fuera de la trompeta y si la cubra por dentro.

Con una pintura con grosor variable, que variase con la superficie en pequeños diferenciales si sería necesaria pintura infinita.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Si aun así no has quedado convencido, la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existiesen los átomos). Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.

Esta entrada debería haberla puesto en mi blog de matemáticas ya que principalmente trata la integración pero es tan interesante que he decidido compartirla aquí, espero que te haya gustado y te haya parecido interesante.

Si tienes alguna duda, puedes dejármela en los comentarios.

Gracias.

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EJERCICIOS INTERESANTES:EL MUELLE

Hoy en ejercicios interesantes...
EL MUELLE.

Un muelle de constante recuperadora k, masa despreciable y longitud en reposo lo
cuelga del techo.
Del otro extremo cuelga una masa m. Debido al peso, el muelle se estira.
Calcular la longitud que se ha estirado el muelle cuando la masa está en reposo.

El sistema se saca del reposo comunicándole una pequeña velocidad inicial en la dirección vertical.

Determinar la trayectoria de la partícula.

Bien, pasemos a resolverlo.
[1] Para calcular la longitud que se ha estirado el muelle desde la longitud en reposo hasta la longitud final aplicamos la ley de Hooke.
Debemos tener en cuenta que aquí actúan dos fuerzas, el peso de la masa que cuelga del muelle, que hace que el muelle se estire y la fuerza correspondiente a la compresión que se opone a ese estiramiento.

La longitud m se entiende como la longitud en reposo del muelle con la masa colgando y la longitud o sería la longitud del muelle en reposo sin masa.

Los vectores están claros, el peso en el eje j lo hemos considerado positivo y la fuerza de compresión del muelle en el eje j también pero como se opone al muelle le he colocado el signo contrario.

La longitud que se haya estirado será la resta de esas dos longitudes así que esta parte del problema ya está resuelta.

[2] Bien, aquí entramos en la parte interesante del problema y esa es la de calcular su trayectoria.

En general cuando quieres calcular la trayectoria de una partícula observas la fuerza a la que se ve sometida y a partir de ahí integrando la aceleración en la segunda ley de Newton obtienes la trayectoria.

Aquí lo que ocurre es que el muelle se ve sometido a tres fuerzas distintas, el peso, la compresión y la fuerza que le aplicamos nosotros con esa velocidad inicial.

Así que vamos a escribir la ecuación con las tres fuerzas:

Tenemos el peso y la fuerza que aplicamos nosotros en el lado positivo del eje y y la fuerza de compresión, la fuerza recuperadora que ejerce el muelle en el lado negativo del eje y.
Bien, hecho esto, empecemos a desarrollar la ecuación hasta sacar la trayectoria del muelle.

1-Aquí tenemos la ecuación a desarrollar.
2-Empezamos desarrollándola sustituyendo cada término, hay que recordar que la fuerza recuperadora se obtiene de la ley de Hooke.
3-En este paso únicamente hemos sustituido la longitud del muelle en equilibrio sin la masa, lo hemos sustituido de la ecuación que obtuvimos en el apartado [1] del problema.
4-En este paso hemos seguido desarrollando la ecuación.
5-Hemos obtenido finalmente dicha ecuación, pero debemos seguir desarrollándola, porque necesitamos acabar sacando las longitudes en función del tiempo, que es lo que nos otorga la trayectoria
Para ello, seguiremos unos pequeños pasos en el desarrollo de la ecuación.

Por un lado, a la longitud del muelle en función del tiempo menos la longitud del muelle en equilibrio con la masa lo vamos a sustituir por z para poder trabajar mejor.

Y la aceleración la sustituiremos por la longitud con dos puntos arriba(pura notación para referirse a una función derivada respecto al tiempo).

A su vez esa longitud con dos puntos la sustituiremos por z con dos puntos arriba(1), ya que según la ecuación que escribimos en el paso anterior si derivamos todas las opciones en la misma vemos que la derivada segunda de l es igual a la de z ya que la longitud del muelle con la masa en reposo es una constante y por tanto su derivada primera ya directamente es 0(2).

Por tanto obtenemos una ecuación diferencial ordinaria homogénea:

Si ya he subido alguna entrada de ecuaciones diferenciales en este blog o en mi blog de matemáticas y necesitas repasártelas, adelante.

Siguiendo con la ecuación observamos tras ver que es una homogénea de segundo grado que tiene raíces complejas conjugadas y por tanto sus solución final es:

Que coincide, efectivamente con la ecuación de la trayectoria de un oscilador armónico.

Aclarar que hemos deshecho el cambio en la variable z.

Pero seguimos teniendo un problema y es la constante A.

Por suerte tenemos un dato que todavía no hemos usado en el problema y ese es la velocidad inicial que se le aplica al muelle.

Así que usaremos ese dato para conseguir esta constante y terminar el problema.

Lo primero que hemos hecho ha sido derivar la ecuación de la trayectoria para obtener la ecuación de la velocidad respecto al tiempo, esa ecuación derivada y poniendo la condición inicial de tiempo=0 en el inicio la hemos igualado a la ecuación que nos daba el problema.

Una vez hecho esto vemos que las ecuaciones son muy parecidas, despejando de los dos lados la velocidad radial, que ya sabemos que en un oscilador es la raíz cuadrada de la constante k entre la masa.

Por tanto nos queda, si aplicamos la generalidad de que empezamos en un ángulo de 90º(obviamente lo pasamos a radianes) la amplitud que hemos obtenido.

Hay que aclarar que esta es una ecuación de la trayectoria y es tan válida como cualquier otra, es decir, si nosotros empezamos desde otro ángulo, obtendremos otra constante, hemos hecho esto únicamente por facilitar el problema.

Por tanto a nosotros la ecuación de la trayectoria nos queda como:

Por tanto, el problema queda terminado.

Espero que os haya resultado interesante y hayáis aprendido bastante.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

TRABAJO Y ENERGÍA PARA MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

Hoy vamos a demostrar algunas fórmulas del trabajo y la energía que todos conocemos.

Supongamos una partícula que se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de fuerzas independientes del tiempo, que solo actúan a lo largo de dicho eje, teniendo:

El trabajo como todos sabéis es fuerza por desplazamiento, escribimos la magnitud:

Bien, aquí lo que hemos hecho es sencillo.

En el paso 1 hemos establecido la magnitud del trabajo con un diferencial pues según el punto del eje dónde nos encontremos tenemos una fuerza por una diferencial de x referida al punto donde estamos.

En el paso 2 hemos integrado los dos lados de la igualdad pues teníamos dos diferenciales.

En el paso 3 por último hemos despejado quedándonos que el trabajo es la suma de cada diferencial de x entre dos puntos A y B por la fuerza que se le aplica, bueno, esto no es más que la definición de integral.

Una vez obtenido eso, sustituyamos esa fuerza por las distintas que conocemos, empecemos haciendo uso de la segunda ley de Newton:

Si sustituimos y operamos, vamos obteniendo resultados:

Bien, partiendo de la ecuación obtenida antes del trabajo.

En el paso 1 simplemente hemos sustituido la fuerza por la segunda ley de Newton, cabe destacar que la aceleración la hemos expresado como la derivada de la velocidad en función del tiempo, si por algún casual estás sufriendo para seguir estos planteamientos, pásate por mi blog de matemáticas o revisa otras entradas de este blog.

En el paso 2 hemos añadido dos diferenciales del tiempo, uno multiplicando y uno dividiendo para mantener la relación y que nos servirán más adelante en las operaciones, además hemos sacado la masa m pues es una constante fuera de la integral.

En el paso 3 hemos despejado el diferencial del tiempo que estaba multiplicando con el diferencial de tiempo  que dividía al diferencial de la velocidad y por otra parte hemos sustituido la derivada de x en función del tiempo por la velocidad.

En el paso 4 simplemente hemos obtenido esa ecuación operando las integrales, dejando la masa y poniendo el 1/2 como factor común.

En el paso 5 nos queda la ecuación que denominaremos energía cinética.

Bien, si F es continua e independiente del tiempo, podemos escribirla como:

Pues a la función V(x) la denominamos energía potencial.

Sustituyamos en la fórmula del trabajo:

En el paso 1 hemos sustituido la ecuación simplemente.

En el paso 2 y 3 hemos operado sustituyendo y haciendo las integrales.

Bien, como podemos observar el trabajo no es más que una variación de la energía potencial, de tal manera que el trabajo siempre es positivo si tendemos a disminuir la energía potencial.

Ahora que tenemos la definición de la energía cinética y potencial, vamos a igualarlas y a operar:

De lo que obtenemos que E=T+V, es decir, E, la denominada energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial.

Lo que significa el resultado anterior es que en 1D y para fuerzas que no dependen del tiempo, la energía mecánica es una constante del movimiento.

Bien, calculemos ahora la energía potencial para diversas fuerzas, empecemos con la ley de Hooke, que es una fuerza independiente del tiempo también.

Sustituyamos:

En el paso 1 hemos cogido la ecuación que liga el potencial y la fuerza, hemos despejado el potencial en el paso 2.

En el paso 3 hemos sustituido la fuerza por la ecuación de la ley de Hooke.

En el paso 4 hemos resuelto la ecuación y nos ha quedado el potencial relacionándolo con la ley de Hooke.

Veamos ahora que ocurre con la fuerza gravitatoria., también independiente del tiempo.

Sustituyamos ahora igual que antes:

El paso 1 es la ecuación normal de la fuerza gravitatoria.

En el paso 2 hemos sustituido esa fuerza en la ecuación del potencial, exactamente igual que en el ejemplo anterior.

En el paso 3 y ya con todo despejado obtenemos el potencial gravitatorio.

Espero que esta entrada demostrando algunas de las fórmulas más conocidad os haya resultado interesante.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios. 

Gracias.