LA ECUACIÓN DE MAX BORN

Max Born fue un matemático y físico alemán.
Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1954 por sus trabajos en mecánica cuántica, que compartió con el físico alemán Walter Bothe.

A su muerte, dejó grabada en su lápida una extraña ecuación.

Está ecuación es:pq - qp = h/2πi.

A priori nos encontramos con una incoherencia bastante obvia pues vemos que los factores p y q están siendo multiplicados con distinto orden y restados lo que nos tendría que ofrecer un resultado de 0 siguiendo las reglas que todo el mundo sabe de la propiedad conmutativa.(El orden de los factores no altera el producto).

Sin embargo el resultado como podemos ver no es 0, entonces no nos queda más que pensar dos cosas: O Max Born se ha equivocado en una de las cosas más básicas de las matemáticas o que con estos factores el orden sí altera el producto.

Bien, se preguntó a la gente del lugar sobre esta extraña inscripción que dejó Born y comentaron que la p representaba algo que tenía que ver directamente con la posición mientras que la q representaba algo que tenía que ver con la velocidad, esto son dos cantidades físicas que en principio se pueden medir con los instrumentos adecuados, una posición y una velocidad, sin embargo el resultado como podemos observar no es 0 al realizar la propiedad conmutativa de dos cantidades.

No solo no es 0 sino que observamos el número i, siendo este la raíz de -1 y la base clave de los números imaginarios.

¿Cómo es posible que la propiedad conmutativa de dos cantidades físicas medibles no solo no es 0 sino que encima esta relacionada con una cantidad imaginaria?

Esta ecuación no solo le valió a Max Born el Nobel de Física sino que representa una de las bases más importantes de la mecánica cuántica y está íntimamente relacionada con la mecánica matricial de Heisemberg.

Antes de continuar vamos a compactar un poco esa fórmula y para ello usaremos la definición de conmutador que podéis aprender aquí:CONMUTADOR Y ANTICONMUTADOR

Compactándola quedaría así:

[p, q] = h/2πi

Si usamos la constante de Dirac para formar la constante de Planck cruzada podemos compactarla más:

Esto ciertamente está en una forma mucho más compacta, mucho más memorizable.

Pero no nos aclara el misterio de cómo dos cosas que están directamente relacionadas con cantidades físicas que podemos medir en un laboratorio pueden ser cantidades tales que el producto qp sea diferente del producto pq, y mucho menos nos aclara cómo el símbolo base de los números imaginarios pudo haber entrado aquí.

Estas cosas sin sentido tienen desde luego una explicación, y la explicación es que las cantidades a las que nos estamos refiriendo no representan cosas que estamos acostumbrados a ver y medir en el mundo macroscópico que nos rodea, representan cosas del mundo ultramicroscópico, el mundo de los átomos y las moléculas.

Pero desde luego empezamos a vislumbrar una explicación cuando nos damos cuenta que los factores p y q pueden ser matrices, sabiendo además que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

La última ecuación que se ha dado arriba puede considerarse como la piedra angular de la Mecánica Cuántica.

La importancia de la ecuación deriva en que todo, absolutamente todo lo que sabemos y conocemos en la Mecánica Cuántica puede ser explicado o derivado a partir de esta ecuación sencilla.

Una de las fórmulas básicas de Heisemberg podía ser escrita así y de esta ecuación salió su mecánica de matrices, además se destacó con esta ecuación:

-La energía se conservaba.

-La matriz H es diagonal y sus elementos diagonales son las energías de los estados estacionarios.

-El postulado de Bohr sobre la emisión y absorción de luz por un átomo se puede formular en esa teoría de forma clara.

De esto hablaremos en posteriores entradas.

La ecuación, tal y como está dada, si la interpretamos de modo tal que las dos cantidades p y q especificadas dentro del conmutador sean matrices, presenta un pequeño problema de interpretación, en virtud de que en el lado izquierdo de la ecuación tenemos una matriz y en el lado derecho tenemos lo que parece ser un valor numérico en lugar de una matriz.

Para los creadores de la Mecánica Cuántica esto nunca representó ningún problema, porque se sobreentendía que el lado derecho de la ecuación estaba multiplicado a una matriz identidad que hoy representamos con la letra I.

Este símbolo no aparece en la ecuación original de Max Born porque para él y para otros en su época era claro que en el lado derecho de la ecuación matricial lo que se tenía eran los valores de una matriz identidad cuyos elementos diagonales son precisamente el valor numérico escrito en la ecuación. Pero para nosotros en nuestra época, acostumbrados a un formalismo más riguroso, estas aparentes omisiones nos pueden ocasionar alguna confusión si no estamos absolutamente seguros de aquello de lo que estamos hablando.

Con esto en mente, podemos enunciar una ecuación “corregida”, más a nuestro gusto, de la manera siguiente, para que no haya dudas en la interpretación de la misma:

La verdad es que en la física cuántica tienen mucha repercusión las matrices y de ellas vamos a hablar en entradas posteriores, comentaremos su uso para determinar valores en ecuaciones y hablaremos de sus valores propios o eigenvalores.


Espero que te haya gustado y haya sido útil esta entrada, si tienes alguna duda no olvides ponerla en los comentarios.
Gracias.

NIELS BOHR Y SU MÓDELO ATÓMICO

Niels Bohr fue un físico danés que contribuyó a la mejor comprensión del átomo y de la física cuántica.
Ganador del premio Nobel en 1922, presentó un modelo del átomo que mejoró la perspectiva de lo que estaba sucediendo con la física del momento.

Niels Bohr modificó el modelo de Rutherford, al aplicar el concepto de cuantización de la energía de Planck, y alcanzó un gran éxito al explicar los espectros atómicos y justificar teóricamente la fórmula empírica de Balmer del espectro del átomo de hidrógeno.

POSTULADOS DEL MÓDELO ATÓMICO DE BOHR

1º.
Los electrones giran en un número determinado de órbitas circulares alrededor del núcleo, sin absorber ni emitir energía radiante en las mismas.
La causa de que el electrón no irradie energía en su órbita es, de momento, un postulado, ya que según la electrodinámica clásica una carga con un movimiento acelerado debe emitir energía en forma de radiación.
Para mantener la órbita circular, la fuerza que experimenta el electrón, la fuerza eléctrica debido a la ley de Coulomb, debe ser igual a la fuerza centrípeta.


Vamos a calcular ahora la energía de un electrón ligado a una órbita.

ET=EC+EP; La energía de un electrón ligado a una órbita, será la suma de sus energías cinética y potencial. Vamos a desarrollarlas.

Donde Z el número atómico del elemento que está siendo considerado, con Z = 1 para el hidrógeno.

La interpretación general que se le da al número atómico Z en el modelo atómico planetario de Bohr para otros elementos distintos al hidrógeno tiene que ver con los átomos hidrogenoides, átomos que tienen dos o más protones en su núcleo pero un electrón solitario girando en torno al núcleo.

Como el helio ionizado He+ con dos protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, el litio doblemente ionizado Li2+ con dos protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, el berilio triplemente ionizado Be3+ con tres protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, el boro B4+ con cuatro protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, y el carbono C5+ con cinco protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo.

Esto es necesario porque si consideramos dos o más electrones en órbita en torno al núcleo entonces la interacción electrón-electrón por la repulsión entre los electrones dificulta enormemente el análisis matemático del problema.

Para seguir despejando y trabajando con esa ecuación primero vamos a igualar dos fórmulas relacionadas con la fuerza que experimenta el electrón en la órbita recordando que para mantener la órbita circular, la fuerza que experimenta el electrón, la fuerza eléctrica debido a la ley de Coulomb, debe ser igual a la fuerza centrípeta.

Igualamos:

Nos damos cuenta que se puede sustituir en la primera ecuación de la energía, quedando:

Como vemos, la energía depende del radio de la órbita, pero un radio que a su vez esta cuantizado, siendo:

donde n es cualquier entero cuantizado y A es una constante.

Esta fórmula de la cuantización del radio la vamos a ver en el segundo postulado de Bohr, más abajo, pero de momento vamos a sustituirla en la formula.

donde vemos que todos esos valores menos n son constantes, constante a la que llamaremos, por ejemplo B, quedando la ecuación finalmente:

Y demostrando la cuantización de la energía en una órbita.

2º.

Los electrones se mueven en órbitas cuyo momento angular es un múltiplo entero de la constante de Planck dividido 2 pi.

donde n es 1, 2, 3... y

Vamos a calcular los radios de las órbitas permitidas para deducir que sus radios están cuantizados a una serie de números enteros.

Si el momento angular de un electrón debe ser igual a un múltiplo entero de la constante que hemos visto, vamos a igualarlo.

Despejemos la velocidad:

Una vez visto esto, necesitamos despejar esa velocidad para tener únicamente el radio y constantes, recordemos la igualdad de fuerza centrípeta y fuerza electrostática realizada en el primer postulado. En este caso, vamos a despejar la velocidad que encontramos al cuadrado.

Y ya, simplemente igualamos las dos ecuaciones por la velocidad:

Ecuación de la que despejamos el radio:

Como podemos observar, a excepción de n, todos los demás elementos son constantes, por lo que vamos a agruparlas en una constante que denominaremos, por ejemplo, A.

Por lo que observamos que los radios de las órbitas permitidas están cuantizados.

3º.

Cuando un electrón pasa de una órbita a otra absorbe o emite energía en forma de un fotón, en una cantidad igual a:

Obviamente todo lo relacionado con los modelos atómicos y los espectros de absorción y emisión necesita una profundización más compleja y mayor de la realizada aquí.

Quizá lo abordemos más adelante, de momento espero que esta entrada os haya servido.

Si tenéis alguna duda, dejádmela en los comentarios.

Gracias.

PARTÍCULAS ELEMENTALES(SUBATÓMICAS)

En esta entrada vamos a explorar y explicar el universo cuántico a través de las partículas elementales.
Si bien no vamos a desarrollar en exceso el tema, si que voy a ofrecer unas explicaciones y una clasificación general de las mismas.


En primer lugar vamos a recordar que hasta hace poco tiempo se pensaba que las únicas partículas indivisibles eran los protones, electrones y neutrones, tuvo que llegar el físico Murray Gell-Mann, nobel en física en 1969, para mostrar la existencia de los Quarks.
Actualmente las partículas que forman la materia son los electrones, los neutrinos y algunos quarks y las partículas relacionadas con las fuerzas de la naturaleza son los bosones, fotones y gluones, a falta de más investigación con la partícula que se encargaría de la gravedad, el gravitón.

Si llegado a este punto sabes de lo que estoy hablando y conoces todas estas partículas nombradas al detalle te permito marcharte de esta entrada, si no es así, continuemos las explicaciones.

La primera división clara que se hace de las partículas subatómicas es la división entre bosones y fermiones. La diferencia radica en el principio de exclusión de Pauli.
BOSONES:
No cumplen el principio de exclusión de Pauli, es decir, dos partículas pueden existir en el mismo estado cuántico, esto es, poseer los cuatro número cuánticos, que muestran la energía, la forma del orbital, la orientación espacial y el sentido de rotación sobre su eje, iguales.
FERMIONES:
Cumplen el principio de exclusión de Pauli, es decir, dos partículas no pueden existir en el mismo estado cuántico. Esto por ejemplo lo vemos en la distribución de los electrones en los átomos.

Los números cuánticos otorgan características como "color", organización, tamaño o valencia.
Más adelante subiré una entrada hablando de ellos y del principio de exclusión.


Una vez vista la diferencia vamos a hablar de cada uno de ellos.
BOSONES: Los bosones son todos ellos partículas elementales, es decir, indivisibles, son partículas que poseen un spin entero y son partículas que se pueden dividir en cuatro.
-Fotón: Partícula elemental sin carga eléctrica cuya interacción es electromagnética. No posee masa relativista.
-Bosón W: Partícula elemental con carga eléctrica +/-1 cuya interacción es nuclear débil.
-Bosón Z: Partícula elemental sin carga eléctrica cuya interacción es nuclear débil.
-Gluón: Partícula elemental sin carga eléctrica cuya interacción es nuclear fuerte. No posee masa relativista. Está muy relacionado en la unión de distintas partículas.

FERMIONES: Poseen un espín intrínseco y fraccionario.
Los fermiones pueden dividirse en dos grupos; los leptones y los quarks, cuya diferencia radica principalmente en el hecho de que los leptones pueden aparecer aislados, a diferencia de los quarks que se encuentran en presencia de otros quarks.

LEPTONES:
-Electrón: Partícula elemental con carga electromagnética -1.
-Muón: Partícula elemental con carga electromagnética -1.
-Tauón: Partícula elemental con carga electromagnética -1.
-Neutrino electrónico: Partícula elemental con carga electromagnética neutra.
-Neutrino muónico: Partícula elemental con carga electromagnética neutra.
-Neutrino tauónico: Partícula elemental con carga electromagnética neutra.

QUARKS:
-Quark up: Partícula elemental con carga electromagnética +2/3.
-Quark charm:Partícula elemental con carga electromagnética +2/3.
-Quark top:Partícula elemental con carga electromagnética +2/3.
-Quark down:Partícula elemental con carga electromagnética -1/3.
-Quark strange:Partícula elemental con carga electromagnética -1/3.
-Quark bottom:Partícula elemental con carga electromagnética -1/3.

Ahora que hemos clasificado y comentado un poco las características de las partículas elementales, vamos a hablar de las partículas compuestas.

HADRONES:
Se denominan hadrones a las partículas que se componen de otras más elementales.
La carga eléctrica de los hadrones es un número entero, por lo que la suma de la carga de los quarks que los componen debe ser un entero.
Encontramos dos tipos de hadrones:
-Bariones:Los bariones son partículas que contienen tres quarks, algunos gluones y algunos antiquarks.
Entre los bariones encontramos partículas muy conocidas, los nucleones, estos son, protones y neutrones.
Los bariones son también fermiones ya que su espín es fraccionario.
-Mesones:Los mesones son partículas formadas por un quark, un antiquark y la partícula que las une, el gluon.
Los mesones son además bosones, ya que la suma de los espines, de sus quark-antiquark, es un número entero.

Además vamos a hablar de algunas partículas hipotéticas:
-Bosón de Higgs:
El bosón de Higgs es la única partícula del modelo estándar cuya existencia aún no ha sido confirmada.
Experimentos en el Gran colisionador de hadrones han confirmado el hallazgo de una partícula que podría ser el bosón de Higgs, aunque se está a la espera de mayores precisiones.
-Gravitón:
El gravitón es el hipotético bosón para la interacción gravitatoria que ha sido propuesto en las teorías de la gravedad cuántica.
No suele formar parte del modelo estándar debido a que no se ha encontrado experimentalmente.
Se teoriza que interaccionaría con leptones y quarks y que no tendría masa.


Incluso podemos hablar de otras partículas como el pomerón, el skirmión o el goldstino.
Pero ya profundizaremos más adelante en todas las partículas.


CLASIFICACIÓN DE LAS PARTÍCULAS HIPOTÉTICAS Y REALES POR SU VELOCIDAD
De acuerdo con su masa y rango de velocidad alcanzable las partículas pueden clasificarse en:

 -Tardión:Viaja más lento que la luz y tiene una masa en reposo no nula.
Todas las partículas con masa pertenecen a esta categoría.

-Luxón:Viaja exactamente a la velocidad de la luz, y no tiene masa.

Todas las partículas bosónicas sin masa pertenecen a esta categoría, usualmente se acepta que los neutrinos también pertenecen a esta categoría.

-Taquión: Partícula hipotética que viaja más rápido que la luz, y cuya masa debe de ser imaginaria. No se han detectado ejemplos de este tipo de partícula.

Espero que os haya gustado esta entrada, en futuras publicaciones profundizaré más sobre las partículas y hablaremos de sus cualidades y acciones en sus respectivos campos.
Si tenéis alguna duda de esta primera clasificación básica de partículas, no dudéis en ponérmelas en los comentarios.
Gracias.

Gran colisionador de hadrones en el CERN

LEYES DE KEPLER

Como comienzo de nuestro aprendizaje, vamos a explicar en detalle las tres leyes de Kepler.
Leyes que nos servirán para futuros problemas relacionados con la interacción gravitatoria.

1ªLEY DE KEPLER:
Antes de empezar con esta ley, debemos aclarar que en su época, siglo XVII, se pensaba que los planetas describían órbitas circulares, siendo el círculo el elemento perfecto y sobre el que se justificaba esto.
El alemán Johannes Kepler, gran estudioso de las ideas de Copérnico y utilizando los datos precisos sobre el planeta Marte recogidos por Tycho Brahe, astrónomo danés en una época anterior a la invención del telescopio, llegó a la conclusión de que las observaciones no se adaptaban a una trayectoria circular.

Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de sus focos.

Al plano que contiene a la órbita de la Tierra se le denomina eclíptica y el eje de rotación de la Tierra forma un ángulo de 23,5º con la perpendicular a la eclíptica, hecho que permite explicar las estaciones del año.

Además, vamos a explicar un poco más esta ley, desarrollándola.
La fuerza con la que actúa el Sol sobre los planetas es una fuerza central, ya que tiene la misma dirección que el vector de posición del planeta respecto del Sol.
Por tanto, el vector momento angular de un planeta respecto del Sol permanece constante a lo largo de su trayectoria.
L=r→×p→=r→×m⋅v→

Por lo que, deducimos que si la dirección y sentido del momento angular se mantienen constantes, entonces los vectores r y v están siempre contenidos en el mismo plano y la trayectoria descrita por el planeta es una curva plana, que se recorre siguiendo siempre el mismo sentido.

2ªLEY DE KEPLER:

Kepler, después de realizar laboriosos cálculos sobre la órbita de Marte, enunció la segunda ley.

La línea que une el Sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

Así se explica el movimiento no uniforme de los planetas, que van más rápidos en la parte de la órbita que está más próxima al Sol (perihelio) que en la parte más alejada del mismo (afelio).

De esta forma se rompió la creencia de la uniformidad del movimiento de los planetas.

Al igual que en la primera ley, vamos a desarrollar un poco más esta.

Sea una partícula, un planeta, que en un instante t está en la posición P, siendo el vector de posición r y en un instante de posterior, t+dt, se encuentra en otra posición P´, definida por el vector de posición r+dr.

Recordemos que el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que delimitan.

Por tanto, el área del triángulo que demilitan los vectores r y dr es igual a la mitad del valor del módulo de su producto vectorial.

Como el momento angular del planeta respecto al Sol, según lo visto anteriormente, permanece constante, se cumple que:

Todo ello implica que el área barrida por unidad de tiempo por vector de posición de un planeta respecto del Sol, denominada velocidad areolar es una cantidad constante.

Esta es otra manera de enunciar la segunda ley de Kepler.

3ªLEY DE KEPLER:

Los cuadrados de los períodos del movimiento de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol.

Esta ley permite conocer las distancias relativas de los planetas, ya que el tiempo que un planeta tarda en recorrer su órbita se conoce desde la antigüedad y permite justificar el hecho de que los planetas más alejados del Sol tardan más tiempo en recorrer su órbita.

Desarrollando un poco esta ley:

De igual forma, al aplicar esta ley a un planeta y un conjunto de satélites, el valor de la constante sólo dependería de la masa del planeta.

CONCLUSIONES:

Las leyes de Kepler se pueden aplicar a cualquier astro y su conjunto de satélites, por ejemplo al grupo formado por la Tierra, la Luna y los satélites artificiales.

Estas tres leyes se refieren a la cinemática de los astros, es decir, a sus movimientos, sin plantear las causas que lo originan.

Gracias por haber visto esta entrada, espero que te haya servido para aprender cosas nuevas e interesarte por la física.

Como siempre, si tenéis cualquier duda, no dudéis en dejármelas en los comentarios.

Pese a ser física bastante básica, tiene algún concepto o expresión más complejo, así que si os habéis quedado con alguna mínima duda, podéis preguntar.

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