VOLUMEN ENTRE UN CILINDRO Y UN HIPERBOLOIDE (EJERCICIO INTEGRACIÓN DE RIEMANN)

-Determínese el volumen de la región que está acotada por el cilindro x²+y²=4 y el hiperboloide x²+y²-z²=1.


Bien, este es un ejercicio muy sencillo en el que usando las integrales podemos calcular tranquilamente el volumen entre esas dos figuras.
Antes de empezar a calcularlo analíticamente vamos a intentar ver qué queremos calcular,g

Bien, como observamos en las siguientes imágenes tenemos, efectivamente, un hiperboloide y un cilindro y la parte que queremos calcular es el volumen entre ambas figuras.

Para calcular el volumen entre estas dos figuras integraremos en el conjunto:

Vemos que el volumen es menor que la frontera del cilindro y mayor que la frontera del hiperboloide.

Por tanto la integral que tenemos que realizar es la siguiente:

Pero al ser volúmenes regulares es bastante más fácil que pasemos las coordenadas cartesianas a otro tipo.

Para ello vamos a sustituir las coordenadas cartesianas por coordenadas cilíndricas, esto nos dará dos

coordenadas que variarán entre dos parámetros z y r y luego un ángulo ծ que variará entre 0 y 2π para abarcar todo el espacio.

Las coordenadas cilíndricas son las siguientes:

x=rcosծ

y=rsenծ

z=z

escrito esto no queda mas que sustituir en nuestras ecuaciones:

Una vez hecho esto podemos obtener perfectamente el conjunto sobre el que vamos a integrar:

Y por tanto, nuestra integral es la siguiente:

Lo que tenemos ahí es el jacobiano de la transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas y viene dado todo por el teorema del cambio de variables que veremos más adelante.

La cuestión es que el determinante del jacobiano es un cálculo necesario cada vez que cambias de coordenadas. Los jacobianos de los principales cambios de coordenadas están calculados y normalmente no requieren de un gasto de tu tiempo en recalcularlos, basta con buscarlos y copiarlos.

El jacobiano de las coordenadas cilíndricas es r.

Por tanto, una vez tenemos todo lo necesario, pasemos a calcular la integral.

Es evidente que el ángulo abarca toda la circunferencia, que el diferencial de z abarca esa función desde menos la raíz hasta más, una función dependiente de r por supuesto y que el diferencial de r va desde 1 a 2 pues la raíz tiene que ser positiva y operando te queda que r tiene que ser mayor que uno y con la otra ecuación tenemos que tiene que ser menor que 2.

Espero que esta entrada os haya resultado útil.

Próximamente veremos más ejercicios.

Si tenéis cualquier duda dejádmela en los comentarios.

Muchas gracias.

INTEGRAL DE RIEMANN EN R^n (Funciones integrales Riemann en el rectángulo)

En esta serie de entradas que iré subiendo próximamente vamos a definir y explicar algunos conceptos de la integral de Riemann en R^n.

Para empezar hablaremos de las integrales de Riemann en el rectángulo.

Rectángulo de R^n:

Un rectángulo cerrado (respectivamente abierto) de R^n es un conjunto AЄR (resp UЄR) de la forma 

Volumen de un rectángulo:

Sea AЄR^n, se define el volumen como 𝜇(A):

Partición de un rectángulo:

Sea AЄR^n.

Una partición de A, pЄp(A) es una división de A en subrectángulos de la siguiente forma:

siendo puntos que dividen el intervalo [ai, bi] en subintervalos.

Entonces un subrectángulo sЄp será de la forma s=s1X...Xsn donde s serán subintervalos de [ai, bi].

Partición más fina:

Sean p, p'Єp(A). Se dice que p' es más fina que p si p' incluye todos los puntos que definen p. Entonces los subrectángulos de p' están incluidos en algún subrectángulo de p.

Dicho de otra manera, una partición más fina es una partición que refleja con más exactitud una parte del rectángulo, contiene los puntos de la partición más gruesa y está reflejada en su interior.

Definición, proposición y demostración de superiores, inferiores, sumas grandes y sumas pequeñas:

Sea f:AЄR^n----->R acotada.

Sea sЄp; pЄp(A), entonces llamamos:
-Ms(f):=sup{f(x), xЄs}

-ms(f):=inf{f(x), xЄs}

Como f está acotada, Ms(f) y ms(f) siempre existen.

Sea pЄp(A). La suma grande (respectivamente pequeña) de Riemann de f en A es:

Proposición:

Sea f:AЄR^n----->R acotada.
(i) Si pЄp(A) entonces L(f, p) ≤ U(f, p)
(ii)Si p, p'Єp(A) y p' es más fina que p:
L(f, p)≤L(f, p')≤U(f, p')≤U(f, p)
(iii) Sean p, p'Єp(A) cualesquiera entonces L(f, p')≤U(f, p)

Demostración (iii):
Dados p y p' definimos pᴜp' como la partición que tienen dos puntos de p y los de p'.

L(f, p') ≤ L(f, pᴜp') ≤ U(f, pᴜp') ≤ U(f, p) 

Integral superior o inferior de Riemann:

Sea f:AЄR^n----->R acotada.

La integral superior (respectivamente inferior) de Riemann de f en A es:

Proposición:

Función integrable Riemann en el rectángulo:
Sea f:AЄR^n----->R acotada.
Se dice que f es integrable Riemann en A, fЄR(A) si:

y entonces la integral de Riemann de f en A es un valor común:

Otra manera de ver que una integral es de Riemann es ver que su conjunto es de medida nula o ver que la función es continua excepto en un conjunto de medida nula.

Pero esto ya lo iremos viendo.

Esta entrada sirve de introducción al mundo de las integrales de Riemann.
No obstante nos queda mucho por ver.
Seguid atentos.
Como siempre si tenéis alguna duda podéis dejármela en los comentarios.
Muchas gracias.