VOLUMEN ENTRE UN CILINDRO Y UN HIPERBOLOIDE (EJERCICIO INTEGRACIÓN DE RIEMANN)

-Determínese el volumen de la región que está acotada por el cilindro x²+y²=4 y el hiperboloide x²+y²-z²=1.


Bien, este es un ejercicio muy sencillo en el que usando las integrales podemos calcular tranquilamente el volumen entre esas dos figuras.
Antes de empezar a calcularlo analíticamente vamos a intentar ver qué queremos calcular,g

Bien, como observamos en las siguientes imágenes tenemos, efectivamente, un hiperboloide y un cilindro y la parte que queremos calcular es el volumen entre ambas figuras.

Para calcular el volumen entre estas dos figuras integraremos en el conjunto:

Vemos que el volumen es menor que la frontera del cilindro y mayor que la frontera del hiperboloide.

Por tanto la integral que tenemos que realizar es la siguiente:

Pero al ser volúmenes regulares es bastante más fácil que pasemos las coordenadas cartesianas a otro tipo.

Para ello vamos a sustituir las coordenadas cartesianas por coordenadas cilíndricas, esto nos dará dos

coordenadas que variarán entre dos parámetros z y r y luego un ángulo ծ que variará entre 0 y 2π para abarcar todo el espacio.

Las coordenadas cilíndricas son las siguientes:

x=rcosծ

y=rsenծ

z=z

escrito esto no queda mas que sustituir en nuestras ecuaciones:

Una vez hecho esto podemos obtener perfectamente el conjunto sobre el que vamos a integrar:

Y por tanto, nuestra integral es la siguiente:

Lo que tenemos ahí es el jacobiano de la transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas y viene dado todo por el teorema del cambio de variables que veremos más adelante.

La cuestión es que el determinante del jacobiano es un cálculo necesario cada vez que cambias de coordenadas. Los jacobianos de los principales cambios de coordenadas están calculados y normalmente no requieren de un gasto de tu tiempo en recalcularlos, basta con buscarlos y copiarlos.

El jacobiano de las coordenadas cilíndricas es r.

Por tanto, una vez tenemos todo lo necesario, pasemos a calcular la integral.

Es evidente que el ángulo abarca toda la circunferencia, que el diferencial de z abarca esa función desde menos la raíz hasta más, una función dependiente de r por supuesto y que el diferencial de r va desde 1 a 2 pues la raíz tiene que ser positiva y operando te queda que r tiene que ser mayor que uno y con la otra ecuación tenemos que tiene que ser menor que 2.

Espero que esta entrada os haya resultado útil.

Próximamente veremos más ejercicios.

Si tenéis cualquier duda dejádmela en los comentarios.

Muchas gracias.