INTEGRAL DE RIEMANN EN R^n (Funciones integrales Riemann en el rectángulo)

En esta serie de entradas que iré subiendo próximamente vamos a definir y explicar algunos conceptos de la integral de Riemann en R^n.

Para empezar hablaremos de las integrales de Riemann en el rectángulo.

Rectángulo de R^n:

Un rectángulo cerrado (respectivamente abierto) de R^n es un conjunto AЄR (resp UЄR) de la forma 

Volumen de un rectángulo:

Sea AЄR^n, se define el volumen como 𝜇(A):

Partición de un rectángulo:

Sea AЄR^n.

Una partición de A, pЄp(A) es una división de A en subrectángulos de la siguiente forma:

siendo puntos que dividen el intervalo [ai, bi] en subintervalos.

Entonces un subrectángulo sЄp será de la forma s=s1X...Xsn donde s serán subintervalos de [ai, bi].

Partición más fina:

Sean p, p'Єp(A). Se dice que p' es más fina que p si p' incluye todos los puntos que definen p. Entonces los subrectángulos de p' están incluidos en algún subrectángulo de p.

Dicho de otra manera, una partición más fina es una partición que refleja con más exactitud una parte del rectángulo, contiene los puntos de la partición más gruesa y está reflejada en su interior.

Definición, proposición y demostración de superiores, inferiores, sumas grandes y sumas pequeñas:

Sea f:AЄR^n----->R acotada.

Sea sЄp; pЄp(A), entonces llamamos:
-Ms(f):=sup{f(x), xЄs}

-ms(f):=inf{f(x), xЄs}

Como f está acotada, Ms(f) y ms(f) siempre existen.

Sea pЄp(A). La suma grande (respectivamente pequeña) de Riemann de f en A es:

Proposición:

Sea f:AЄR^n----->R acotada.
(i) Si pЄp(A) entonces L(f, p) ≤ U(f, p)
(ii)Si p, p'Єp(A) y p' es más fina que p:
L(f, p)≤L(f, p')≤U(f, p')≤U(f, p)
(iii) Sean p, p'Єp(A) cualesquiera entonces L(f, p')≤U(f, p)

Demostración (iii):
Dados p y p' definimos pᴜp' como la partición que tienen dos puntos de p y los de p'.

L(f, p') ≤ L(f, pᴜp') ≤ U(f, pᴜp') ≤ U(f, p) 

Integral superior o inferior de Riemann:

Sea f:AЄR^n----->R acotada.

La integral superior (respectivamente inferior) de Riemann de f en A es:

Proposición:

Función integrable Riemann en el rectángulo:
Sea f:AЄR^n----->R acotada.
Se dice que f es integrable Riemann en A, fЄR(A) si:

y entonces la integral de Riemann de f en A es un valor común:

Otra manera de ver que una integral es de Riemann es ver que su conjunto es de medida nula o ver que la función es continua excepto en un conjunto de medida nula.

Pero esto ya lo iremos viendo.

Esta entrada sirve de introducción al mundo de las integrales de Riemann.
No obstante nos queda mucho por ver.
Seguid atentos.
Como siempre si tenéis alguna duda podéis dejármela en los comentarios.
Muchas gracias.