LA FÍSICA DE IRON MAN

[SPOILERS]

"Yo soy Iron Man" y acto seguido murió salvando así a todo el universo.
No es el mejor ni más bonito comienzo a una entrada en este blog, Iron Man murió en combate pero considerando su traje...¿debió haber muerto antes?
En esta entrada repasaremos algunas funciones y partes de su traje para comprobar su viabilidad.

-REACTOR ARC: La principal pieza que tiene el traje de Iron Man, lo que le salvó la vida en la primera película y lo que fue un argumento recurrente después.

En la película Stark crea ese reactor miniaturizándolo de uno más grande que tenía en sus industrias y lo usa como electroimán para mantener alejados unos trozos de metralla de su corazón y así poder mantenerse con vida.

Bien, pues este pequeño reactor tiene una apariencia que nos recuerda a un electroimán.
Pero, ¿qué es un electroimán?




Un electroimán no es más que un material, normalmente hierro, donde se ha enrollado un conductor tal que así:

La corriente que circula por el conductor genera, por la ley de Biot-Savart, un campo magnético perpendicular al sentido de la corriente, como podemos ver en la foto. Ese campo magnético mueve unos pequeños dominios magnéticos del imán, hierro en nuestro caso, hace que se alineen en paralelo al campo magnético y lo potencian, teniendo así un perfecto imán.

La cuestión es que pese a que un electroimán lo podemos fabricar todos en casa su duración depende la fuente de energía que aportes y claro, no veo yo a Tony Stark cambiando la batería de su electroimán cada 10 minutos.

Lo que me lleva el segundo punto, el reactor ARC no es más que un acelerador de partículas miniaturizado.

Un acelerador de partículas es un dispositivo que utiliza campos electromagnéticos para acelerar y colisionar distintas partículas generando así nuevas partículas y muchísima energía.

¿Cómo funciona un acelerador de partículas?

Lo primero que se hace es colocar las partículas que se quiere hacer colisionar, estas partículas se mueven en el interior de dos recipientes denominados "des", debido a su forma de D, situadas dentro de un campo magnético.

PERIODO DEL CICLOTRÓN

En la región en la que se mueven las partículas se ha hecho vacío para que no haya pérdidas de energía.

Entre las dos des se mantiene una diferencia de potencial que varía en el tiempo con un período T igual al período del acelerador.


Esta diferencia de potencial crea un campo eléctrico entre las dos des, dentro de las des no pues el blindaje metálico al ser un conductor en equilibrio se polariza y genera otro campo eléctrico dentro lo que anula el externo (Jaula de Faraday).

Las partículas entran en ese acelerador y recorren una de en un tiempo 1/2T, al salir de una de, el potencial de la siguiente de es mayor que el de la anterior, lo que genera un campo eléctrico en ese sentido que acelera las partículas, después recorre la siguiente de en el mismo tiempo 1/2T pese a que su velocidad ha aumentado (el periodo es independiente de la velocidad de las partículas) y llega al siguiente espacio entre des, donde se ha invertido los potenciales de las des para generar un campo eléctrico en dirección opuesta al anterior y así aumentar de nuevo la energía cinética de la partícula.
Vamos a calcular ahora la energía cinética de dos partículas en el momento de la colisión:

Energía cinética de una partícula en un acelerador

Sabiendo esto, tenemos dos opciones para el reactor ARC del señor Stark, que produzca una fisión nuclear o que produzca una fusión nuclear.

La fisión nuclear es el proceso de separación de un núcleo pesado de algún átomo de tal manera que se desprenda una energía mediante un proceso exotérmico separando el núcleo y obteniendo otros subproductos como neutrones.
Para dar lugar a una fisión nuclear no es necesario aplicar mucha energía, basta con bombardear un átomo con algún electrón y su propia inestabilidad hará el resto.
El problema radica en esa inestabilidad, pues los neutrones que se emiten en el primer choque tes necesario que induzcan una fisión con los núcleos separados de la primera fisión para así, generar una reacción en cadena.

Un neutrón de movimiento lento se llama neutrón térmico y solamente esta velocidad del neutrón puede inducir una reacción de fisión. Así pues, tenemos cuatro velocidades de neutrones: 

-Un neutrón (no-térmico) rápidamente se escapará del material sin interaccionar de nuevo.
-Un neutrón de velocidad mediana será capturado por el núcleo y transformará el material en un isótopo (pero no inducirá la fisión).
-Un neutrón de movimiento lento (térmico) inducirá a un núcleo a que experimente la fisión.

-Un neutrón móvil realmente lento será capturado o escapará, pero no causará fisión.

Por tanto, hay que mantener a raya al neutrón con diversos moderadores.

Aparte del problema principal de que Stark tendría en su traje una central nuclear completa en miniatura, bastante extraño pues no hay espacio, tenemos el problema del calor que genera una fisión nuclear.

Actualmente el máximo legal permitido está en 575K, pero se han llegado a alcanzar temperaturas de 673K, esta temperatura.

Por tanto, para que mínimo no se muera quemado necesita un material con alta resistencia térmica, o lo que es lo mismo, baja conductividad térmica.

Veamos cómo podemos sacar la resistividad térmica y qué valor aproximado debería tener para que Tony Stark no sufriese los 673K .

Resistividad térmica 

Conductividad térmica

Sabiendo que la temperatura media que se alcanza en esas reacciones nucleares es de 600K, la temperatura final que debería llegar a tener Tony Stark para sobrevivir que he decidido que sea en torno a los 298K(25 grados centígrados), que la superficie aproximada de un cuerpo humano son 2 metros cuadrados, y que el grosor del supuesto compuesto que forma la armadura pueden ser unos 20 centímetros, podemos sustituir todo en la ecuación para obtener la conductividad térmica.

Bien, para sacar el número de moles y el calor específico necesitamos conocer qué material es el que está cediendo esas cantidad de calor.
Por lo pronto, en una central nuclear existen diversos materiales y aleaciones que ceden ese calor de las reacciones, así que he cogido el acero de carbono que es una aleación de hierro y carbono en baja cantidad.
Sabiendo aproximadamente la masa molar de esa aleación y su calor específico he calculado que la conductividad térmica es de 44,28W/(m·K), por ende necesitamos un material que tenga una resistencia térmica de 0,022(m·K)/W, sabiendo que es el inverso de la conductividad.
A continuación voy a dejaros una tabla con las conductividades térmicas de algunos materiales:

CONDUCTIVIDADES TÉRMICAS

Como podemos apreciar, los metales pesados poseen una conductividad altísima mientras que la madera, el poliuretano o la tierra poseen resistencias más altas.
Por tanto cualquier material que tenga una conductividad inferior a 44,28 nos serviría para que Tony Stark no muriese calcinado, que funcionen otros sistemas del traje con esos materiales ya es otro tema.

Un apunte más, en los transbordadores espaciales, donde las temperaturas alcanzan hasta los 1260 grados Celsius las placas de aluminio deben mantenerse por debajo de los 177, para ello se recubren con distintas aleaciones que os mostraré a continuación.

PROTECCIÓN EN UN TRANSBORDADOR ESPACIAL

Bien, ya hemos visto que el reactor de Tony Stark puede ser un reactor de fisión nuclear pero nuestra segunda opción también es viable, ¿puede ser un reactor de fusión nuclear?
¿Qué es la fusión nuclear?

La fusión nuclear es el proceso por el cual varios núcleos atómicos de carga similar se unen y forman un núcleo más pesado.Simultáneamente se libera o absorbe una cantidad enorme de energía gracias a la famosa ecuación de Einstein.

La fusión nuclear es, en definitiva, la situación inversa a la fisión nuclear.

Las reacciones de fusión nuclear pueden emitir o absorber energía. Si los núcleos que se van a fusionar tienen menor masa que el hierro se libera energía. Por el contrario, si los núcleos atómicos que se fusionan son más pesados que el hierro la reacción nuclear absorbe energía.

No confundir la fusión nuclear con la fusión del núcleo de un reactor, que se refiere a la fusión del núcleo del reactor de una central nuclear debido al sobrecalentamiento producido por la deficiente refrigeración.

La fusión nuclear es el fenómeno que ocurre en las estrellas, donde constantemente se están fusionando átomos de Hidrógeno para dar átomos de Helio.

Tenéis más datos sobre la fusión nuclear en las estrellas en el siguiente enlace:

https://fisicastaqueteaburras.blogspot.com/2017/07/vida-muerte-y-reacciones-en-las.html

Pese a que la fusión nuclear es un proceso más limpio que la fisión pues no genera residuos radiactivos requiere de una gran cantidad de energía para conseguir fusionar los átomos de los distintos elementos.

Para efectuar las reacciones de fusión nuclear, se deben cumplir los siguientes requisitos:
-Conseguir una temperatura muy elevada para separar los electrones del núcleo y que éste se aproxime a otro venciendo las fuerzas de repulsión electrostáticas. La masa gaseosa compuesta por los electrones libres y los átomos altamente ionizados se denomina plasma.
-Es necesario el confinamiento para mantener el plasma a temperatura elevada durante un mínimo de tiempo.

-Una densidad del plasma suficiente para que los núcleos estén cerca unos de otros y puedan generar reacciones de fusión nuclear.

Por tanto es necesario aplicar energías muy altas, eso significa una temperatura excepcional, casi al nivel del centro de algunas estrellas, en torno a 3273K(3000ºC), es casi el triple que lo que soportan los transbordadores espaciales en su salida y entrada en la atmósfera.

Hay muy pocos materiales que aguanten esta temperatura sin fundirse, el carburo de tántalo y el carburo de hafnio son dos de ellos, que pueden alcanzar hasta los 4000ºC, son aleaciones relativamente modernas y habría que ver si además poseen una resistividad térmica que no permita que Tony se muera quemado.

Por otra parte nuestro amigo Tony Stark no solo puede morir quemado, también puede acabar peor que Marie Curie ya que jugar con partículas atómicas no sale gratis.
Hablamos de la radiación sincrotrón:
La radiación de sincrotrón es la radiación electromagnética generada por partículas cargadas (tales como electrones) que se mueven según una trayectoria curva a alta velocidad (una fracción apreciable de la velocidad de la luz) en un campo magnético. Cuanto más rápido se mueven los electrones, más corta es la longitud de onda de la radiación. La emisión sincrotrón se produce artificialmente en los anillos de almacenamiento de un sincrotrón, y en la naturaleza se produce por los electrones a muy altas velocidades moviéndose a través de los campos magnéticos del espacio, y se observa en las explosiones y en remanentes de supernovas, radiogalaxias y púlsares.

Bien, la fórmula de la potencia que emite una partícula es la siguiente:

Donde q es la carga eléctrica de la partícula, a es la aceleración de la misma, ε es la permitividad eléctrica en el vacío y c es la velocidad de la luz.

Para un electrón:

Para una órbita circular no relativista, la aceleración es justo la aceleración centrípeta, v2/r. Las órbitas de interés en los aceleradores son altamente relativista, por lo que la aceleración relativista puede ser obtenido de:

donde

y m es la masa en reposo de la partícula.
La velocidad de variación de g se desprecia. Esa suposición necesita realmente ser defendida con mayor rigor, pero parece que el término v4 debe dominar. La potencia radiada es por tanto:

Bien, calculando la potencia que emite un electrón que alcanza una aceleración de 40Mev/m, una aceleración media que alcanzan los electrones acelerados en un sincrotrón, aunque este valor puede variar y posiblemente en Iron Man fuese bastante más alto, he obtenido una potencia de 2,79E-16 W, es decir, 2,79E-16 julios de emisión de energía por segundo.
Variando estos parámetros con distintas partículas y elementos obtenemos energías totales muy elevadas.
Sabiendo que la dosis absorbida es la energía absorbida por masa sabemos que Tony Stark moriría en muy poco tiempo.



Bien, por ahora, esto es todo sobre la física de Iron Man. Pero volveremos más adelante con nuevas entradas donde repasaremos más funcionalidades de su traje:

¿Qué fuerza emiten sus propulsores para poder sostener o destruir Sokovia?

¿Qué material o grosor necesita en sus circuitos para soportar tal cantidad de intensidad eléctrica?

O incluso veremos la viabilidad de su traje nanotecnológico.



Espero que os haya gustado esta entrada y ya sabéis que podéis dejarme en los comentarios cualquier duda, ajuste en las cuentas o curiosidad.
También tenéis un apartado en la columna derecha del blog donde podéis contactar conmigo para preguntarme cualquier cosa o tratar el tema que deseéis.

"Una parte del viaje es el final"
Pero el viaje por la física de Iron Man aún no ha finalizado.

MULTIVERSO CUÁNTICO

Hoy vamos a hablar del multiverso cuántico y sus repercusiones.

Actualmente todos somos conscientes del universo que nos rodea pero dicho universo podría no ser más que una minúscula parte de una estructura mucho mayor: el multiverso.
Vamos a hablar un poco del concepto de: "multiverso".
La idea del multiverso tiene su origen en la teoría que afirma que el universo primitivo se expandió de manera exponencial en un proceso conocido como inflación.

En dicho proceso algunas regiones pudieron haber detenido su rápida expansión antes que otras formándose así multitud de "universos burbuja" cada uno de ellos regido por sus propias leyes físicas.

Pero claro, la idea del multiverso tiene un problema teórico relativamente grave, anula la posibilidad de realizar predicciones, requisito clave de cualquier teoría física útil.
Es decir es un multiverso eternamente sometido a inflación cualquier cosa que pueda ocurrir acabará ocurriendo, de hecho, ocurrirá un número infinito de veces.
Esto implica unos problemas de predicción serios pues, mientras en un único universo en el que cada suceso solo acontece un número limitado de ocasiones resulta posible conocer la probabilidad relativa de un evento frente a otro, en un multiverso en el que cualquier cosa ocurre infinitas veces ese cálculo se vuelve imposible, por lo que no hay un suceso más probable que otro.
Estos problemas pueden ser resueltos gracias a la teoría cuántica ya que desde un punto de vista matemático puede ser equivalente.

MUNDOS CUÁNTICOS

¿Qué relación puede haber entre el multiverso y la mecánica cuántica?
Sabemos que la mecánica cuántica es una realidad poco conocida y de entendimiento complejo.
Sabemos que las partículas en estado cuántico no se rigen por las leyes conocidas sino que en principio solo podemos llegar a entender su comportamiento gracias a la probabilidad.
Es decir, conocemos las probabilidades de que una partícula se comporte de determinada manera.

Esto por supuesto tiene su repercusión en el mundo macroscópico: Si por ejemplo lanzásemos una pelota siempre en las mismas condiciones, unas veces caerá en el punto A y otras veces caerá en el punto B.
De hecho hasta que no cae, los dos estados, el A y el B, se encuentran superpuestos (y muchos más claramente).
A esta superposición la conocemos como función de onda, una función probabilística, una vez cae, la función de onda colapsa y podemos medir en qué situación se encuentra la pelota, en A o en B.
De hecho, esta forma tradicional de entender la mecánica cuántica se conoce como interpretación de Copenhague, en la que no se conoce con exactitud el comportamiento de ninguna partícula cuántica hasta su medida, de hecho no se sabe siquiera si la medida es lo que hizo a la partícula comportarse así o no.
El principio de indeterminación de Heisenberg se encuentra dentro de la interpretación de Copenhague.
La pregunta que nos surge con esta experimentación es si cualquier observador condiciona el comportamiento del sistema. ¿Una mosca colapsa la función de onda? ¿Una mota de polvo lo hace? ¿Es la propia consciencia humana lo que otorga un significado específico al sistema?
Próximamente hablaremos del colapso de la función de onda explicando el experimento de Young.

Uno de los físicos estadounidenses más importantes de la década de los 50 propuso la interpretación de los muchos mundos de la mecánica cuántica que responde satisfactoriamente a estas cuestiones.
La idea fundamental de Everett era que el estado de un sistema cuántico refleja el de todo el universo a su alrededor, es decir, una descripción completa de la medida debe incluir también al observador.
En nuestro caso, si estudiamos donde caería la pelota anteriormente mencionada si la lanzamos tendríamos que incluir también a la persona que examina, dónde cae el objeto y todo lo que haya en el cosmos en ese instante.
Además el estado del sistema después de la medida sigue siendo una superposición, es decir, el lugar donde podía aterrizar la pelota originaría dos mundos distintos, uno donde la pelota aterizase en A y otro donde la pelota aterrizase en B.
Esto explicaría porqué el observador cree que su medida ha cambiado el estado del sistema.
Lo que ha ocurrido es que, al llevar a cabo la medición, el propio observador se ha dividido en dos personas que viven en sendos mundos paralelos.
En un estado de todo el universo, que sea un humano quien realice la medida no reviste especial importancia pues se ramifica continuamente en multitud de mundos paralelos que coexisten en superposición, todos igualmente reales.

EL DILEMA DEL AGUJERO NEGRO
Para entender por qué la interpretación de esos muchos mundos puede describir el multiverso inflacionario vamos a hablar de la física de los agujeros negros.
Un agujero negro​ es una región finita del espacio en cuyo interior existe una concentración de masa lo suficientemente elevada y densa como para generar un campo gravitatorio tal que ninguna partícula material, ni siquiera la luz, puede escapar de ella, los agujeros negros pueden ser capaces de emitir radiación.

Estos objetos corresponden a regiones del espaciotiempo extremadamente curvadas, cuya gravedad es tan intensa que nada de lo que cae en ellos puede escapar.

Gracias a esto, podemos intentar explicar un experimento mental que nos muestre dónde falla la manera tradicional de pensar sobre el multiverso y por qué esta nos impide realizar predicciones.

Vamos a suponer que dejamos caer un libro en un agujero negro y observamos desde fuera lo que ocurre.
Aunque el libro nunca podrá escapar, la teoría nos dice que la información contenida en él no se perderá. Una vez que el texto haya sido destruido por la gravedad del agujero negro, y después de que el agujero negro se haya "evaporado" poco a poco emitiendo una tenue radiación, que es la radiación conocida como radiación de Hawking, el observador externo podrá reconstruir la información contenida en el libro examinando con cuidado dicha radiación.

Pero vamos a imaginarnos ahora que alguien cayese en el agujero negro junto al libro.

En este caso el libro simplemente cruza la frontera del agujero negro permaneciendo dentro. 

Es decir que, según el observador que está en el interior del agujero negro, la información del libro se queda allí para siempre no obstante para el observador lejano como hemos comentado antes la información escapa en forma de radiación.

¿Significa esto que la información se duplica? Eso sería imposible pues el "teorema de la no clonación" prohíbe duplicar información de un estado cuántico de una manera fiel y completa.
Sin embargo distintos físicos han propuesto la siguiente solución: ambas imágenes son correctas, pero no al mismo tiempo.
Según el observador lejano, la información se halla en el exterior del agujero negro. No necesitamos describir qué ocurre en el interior ya que dicha región es inaccesible incluso en el principio. De hecho, para evitar la clonación de la información, resulta obligado considerar el interior como inexistente.
En cambio, para el observador que cae en el agujero negro, el interior es lo único que hay y en él se encuentran el libro y toda su información. Pero esta imagen solo es posible si obviamos la radiación de Hawking emitida por el objeto. Esto resulta factible, porque el observador ha cruzado la frontera y se halla atrapado en el interior, aislado por tanto de la radiación.
No existe ninguna incoherencia entre estas dos imágenes: la aparente contradicción que conduce a la clonación de la información solo surge si, de forma artificial, unimos ambas representaciones del fenómeno. Pero esto es físicamente imposible, ya que nadie puede ser un observador externo e interno a la vez.

HORIZONTES COSMOLÓGICOS
Bien, la información de los agujeros negros puede parecer desconectada de la cuestión que nos ocupa: la relación entre el multiverso y los muchos mundos de la mecánica cuántica.
No obstante la superficie de los agujeros negros guarda bastante relación con el denominado "horizonte cosmológico": La frontera que limita la región del universo desde la cual aún podemos recibir señales del espacio profundo. Bien, este horizonte está en constante expansión y todo lo que haya más allá de él se aleja a velocidades más rápidas que la velocidad de la luz, por ende, jamás ningún mensaje enviado desde allí nos llegará. Esta situación es, por tanto, similar a la de los agujeros negros vista anteriormente.
La mecánica cuántica nos obliga a considerar como inexistente el espaciotiempo al otro lado del horizonte cosmológico, pues, si lo tuviésemos en cuenta como una especie de análogo a la radiación de Hawkings estaríamos recibiendo dos veces la misma información. Por eso solo debemos considerar la zona interior del horizonte cosmológico, y el horizonte en sí, en toda descripción del estado cuántico del universo.
Así que, ¿dónde está el multiverso que existía en un espacio infinito en inflación eterna?
La respuesta es que la creación de los universos burbuja es probabilística, como cualquier otro proceso cuántico. De igual manera que una medida puede dar lugar a distintos resultados, cada uno con una probabilidad propia, la inflación puede producir muchos universos, cada uno con una probabilidad de ser generado.
Es decir, para que quede claro, el estado cuántico asociado a un espacio en inflación eterna es una superposición de mundos que representan diferentes universos, cada uno de los cuales solo incluye la región interior en su propio horizonte.
Dado que ahora tenemos cada uno de estos universos finitos podemos evadir el problema de predictibilidad que se nos presentaba al considerar un espacio infinito capaz de albergar cualquier resultado posible.
Así que, en nuestro caso, los distintos universos no existen a la vez, simultáneamente, en el espacio real, sino que coexisten en el espacio de probabilidades.
La historia cósmica se desarrolla de tal manera que el multiverso comienza en algún estado inicial y evoluciona hasta convertirse en una superposición de múltiples universos burbuja. Con el tiempo ese estado correspondiente a cada una de esas burbujas se ramifica a su vez en más superposiciones de estados.
En esta nueva imagen, nuestro mundo no es más que uno de los posibles universos permitidos por los principios de la física cuántica, los cuales existen simultáneamente en el espacio de probabilidades.

Próximamente entraremos más al detalle en los cálculos de toda esta teoría.
Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

PARADOJA DE LA TROMPETA DE TORRICELLI O CUERNO DE GABRIEL

Hoy vamos a hablar de una paradoja acerca de una figura geométrica concreta, el cuerno de Gabriel.
Fue ideada por Evangelista Torricelli hacia 1641, que la bautizó como sólido hiperbólico agudo.

Comenzaremos hablando de la superficie de esta figura, para ello usaremos la función 1/x y mediante su giro de revolución generaremos el cuerno de Gabriel, esto es similar al giro de un rectángulo para formar un cono.

Función 1/x

Bien, vamos a comprobar la tendencia del área, que llamaremos G por ejemplo, comprendida entre el eje x y la función a partir de x=1 hasta infinito.

Aquí únicamente hemos realizado la integral entre 1 e infinito y como podemos ver, la superficie tiende a infinito, es decir, nunca llegará a tocar el eje x que vemos en la gráfica de arriba.

Como hemos dicho antes, al girar esa figura obtenemos la trompeta de Torricelli, que tendrá, vamos a suponer una superficie infinita gracias a los cálculos que hemos hecho anteriormente.

Obtenida esta figura, vamos a calcular la tendencia de su volumen, al que llamaremos T de Torricelli haciendo otra integral entre x=1 e infinito.

Hemos hecho la integral de su volumen, el radio es 1/x y la altura son los diferenciales de x, es cierto que cometemos un error pues estamos cogiendo superficies circulares cuando en verdad la figura está formada por infinitos conos truncados, aun así esto no altera el resultado, esto lo veremos en otro momento.

Vemos que el volumen de esta figura es el número pi, es decir, la figura tiene un volumen finito.

Y aquí encontramos la gracia de la supuesta paradoja, una figura con un volumen finito y una superficie infinita, esto lo que quiere decir es que si por ejemplo pintásemos la figura, necesitaríamos infinita pintura para cubrir su superficie pero una cantidad finita para llenarla.

Antes he comentado lo de supuesta paradoja porque en verdad si tiene solución.

La solución de la paradoja es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor invariable. Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el final del cuerno.

Ya que la duda que le surge a todo el mundo es que como es posible que la pintura no cubra la superficie por fuera de la trompeta y si la cubra por dentro.

Con una pintura con grosor variable, que variase con la superficie en pequeños diferenciales si sería necesaria pintura infinita.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Si aun así no has quedado convencido, la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existiesen los átomos). Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.

Esta entrada debería haberla puesto en mi blog de matemáticas ya que principalmente trata la integración pero es tan interesante que he decidido compartirla aquí, espero que te haya gustado y te haya parecido interesante.

Si tienes alguna duda, puedes dejármela en los comentarios.

Gracias.

VISITA MI CANAL DE YOUTUBE PARA APRENDER MÁS:https://www.youtube.com/channel/UC8U7TP5fnc1jxGE3WzM_fEA

BLOG MATEMÁTICAS

EJERCICIOS INTERESANTES:EL MUELLE

Hoy en ejercicios interesantes...
EL MUELLE.

Un muelle de constante recuperadora k, masa despreciable y longitud en reposo lo
cuelga del techo.
Del otro extremo cuelga una masa m. Debido al peso, el muelle se estira.
Calcular la longitud que se ha estirado el muelle cuando la masa está en reposo.

El sistema se saca del reposo comunicándole una pequeña velocidad inicial en la dirección vertical.

Determinar la trayectoria de la partícula.

Bien, pasemos a resolverlo.
[1] Para calcular la longitud que se ha estirado el muelle desde la longitud en reposo hasta la longitud final aplicamos la ley de Hooke.
Debemos tener en cuenta que aquí actúan dos fuerzas, el peso de la masa que cuelga del muelle, que hace que el muelle se estire y la fuerza correspondiente a la compresión que se opone a ese estiramiento.

La longitud m se entiende como la longitud en reposo del muelle con la masa colgando y la longitud o sería la longitud del muelle en reposo sin masa.

Los vectores están claros, el peso en el eje j lo hemos considerado positivo y la fuerza de compresión del muelle en el eje j también pero como se opone al muelle le he colocado el signo contrario.

La longitud que se haya estirado será la resta de esas dos longitudes así que esta parte del problema ya está resuelta.

[2] Bien, aquí entramos en la parte interesante del problema y esa es la de calcular su trayectoria.

En general cuando quieres calcular la trayectoria de una partícula observas la fuerza a la que se ve sometida y a partir de ahí integrando la aceleración en la segunda ley de Newton obtienes la trayectoria.

Aquí lo que ocurre es que el muelle se ve sometido a tres fuerzas distintas, el peso, la compresión y la fuerza que le aplicamos nosotros con esa velocidad inicial.

Así que vamos a escribir la ecuación con las tres fuerzas:

Tenemos el peso y la fuerza que aplicamos nosotros en el lado positivo del eje y y la fuerza de compresión, la fuerza recuperadora que ejerce el muelle en el lado negativo del eje y.
Bien, hecho esto, empecemos a desarrollar la ecuación hasta sacar la trayectoria del muelle.

1-Aquí tenemos la ecuación a desarrollar.
2-Empezamos desarrollándola sustituyendo cada término, hay que recordar que la fuerza recuperadora se obtiene de la ley de Hooke.
3-En este paso únicamente hemos sustituido la longitud del muelle en equilibrio sin la masa, lo hemos sustituido de la ecuación que obtuvimos en el apartado [1] del problema.
4-En este paso hemos seguido desarrollando la ecuación.
5-Hemos obtenido finalmente dicha ecuación, pero debemos seguir desarrollándola, porque necesitamos acabar sacando las longitudes en función del tiempo, que es lo que nos otorga la trayectoria
Para ello, seguiremos unos pequeños pasos en el desarrollo de la ecuación.

Por un lado, a la longitud del muelle en función del tiempo menos la longitud del muelle en equilibrio con la masa lo vamos a sustituir por z para poder trabajar mejor.

Y la aceleración la sustituiremos por la longitud con dos puntos arriba(pura notación para referirse a una función derivada respecto al tiempo).

A su vez esa longitud con dos puntos la sustituiremos por z con dos puntos arriba(1), ya que según la ecuación que escribimos en el paso anterior si derivamos todas las opciones en la misma vemos que la derivada segunda de l es igual a la de z ya que la longitud del muelle con la masa en reposo es una constante y por tanto su derivada primera ya directamente es 0(2).

Por tanto obtenemos una ecuación diferencial ordinaria homogénea:

Si ya he subido alguna entrada de ecuaciones diferenciales en este blog o en mi blog de matemáticas y necesitas repasártelas, adelante.

Siguiendo con la ecuación observamos tras ver que es una homogénea de segundo grado que tiene raíces complejas conjugadas y por tanto sus solución final es:

Que coincide, efectivamente con la ecuación de la trayectoria de un oscilador armónico.

Aclarar que hemos deshecho el cambio en la variable z.

Pero seguimos teniendo un problema y es la constante A.

Por suerte tenemos un dato que todavía no hemos usado en el problema y ese es la velocidad inicial que se le aplica al muelle.

Así que usaremos ese dato para conseguir esta constante y terminar el problema.

Lo primero que hemos hecho ha sido derivar la ecuación de la trayectoria para obtener la ecuación de la velocidad respecto al tiempo, esa ecuación derivada y poniendo la condición inicial de tiempo=0 en el inicio la hemos igualado a la ecuación que nos daba el problema.

Una vez hecho esto vemos que las ecuaciones son muy parecidas, despejando de los dos lados la velocidad radial, que ya sabemos que en un oscilador es la raíz cuadrada de la constante k entre la masa.

Por tanto nos queda, si aplicamos la generalidad de que empezamos en un ángulo de 90º(obviamente lo pasamos a radianes) la amplitud que hemos obtenido.

Hay que aclarar que esta es una ecuación de la trayectoria y es tan válida como cualquier otra, es decir, si nosotros empezamos desde otro ángulo, obtendremos otra constante, hemos hecho esto únicamente por facilitar el problema.

Por tanto a nosotros la ecuación de la trayectoria nos queda como:

Por tanto, el problema queda terminado.

Espero que os haya resultado interesante y hayáis aprendido bastante.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

TRABAJO Y ENERGÍA PARA MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

Hoy vamos a demostrar algunas fórmulas del trabajo y la energía que todos conocemos.

Supongamos una partícula que se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de fuerzas independientes del tiempo, que solo actúan a lo largo de dicho eje, teniendo:

El trabajo como todos sabéis es fuerza por desplazamiento, escribimos la magnitud:

Bien, aquí lo que hemos hecho es sencillo.

En el paso 1 hemos establecido la magnitud del trabajo con un diferencial pues según el punto del eje dónde nos encontremos tenemos una fuerza por una diferencial de x referida al punto donde estamos.

En el paso 2 hemos integrado los dos lados de la igualdad pues teníamos dos diferenciales.

En el paso 3 por último hemos despejado quedándonos que el trabajo es la suma de cada diferencial de x entre dos puntos A y B por la fuerza que se le aplica, bueno, esto no es más que la definición de integral.

Una vez obtenido eso, sustituyamos esa fuerza por las distintas que conocemos, empecemos haciendo uso de la segunda ley de Newton:

Si sustituimos y operamos, vamos obteniendo resultados:

Bien, partiendo de la ecuación obtenida antes del trabajo.

En el paso 1 simplemente hemos sustituido la fuerza por la segunda ley de Newton, cabe destacar que la aceleración la hemos expresado como la derivada de la velocidad en función del tiempo, si por algún casual estás sufriendo para seguir estos planteamientos, pásate por mi blog de matemáticas o revisa otras entradas de este blog.

En el paso 2 hemos añadido dos diferenciales del tiempo, uno multiplicando y uno dividiendo para mantener la relación y que nos servirán más adelante en las operaciones, además hemos sacado la masa m pues es una constante fuera de la integral.

En el paso 3 hemos despejado el diferencial del tiempo que estaba multiplicando con el diferencial de tiempo  que dividía al diferencial de la velocidad y por otra parte hemos sustituido la derivada de x en función del tiempo por la velocidad.

En el paso 4 simplemente hemos obtenido esa ecuación operando las integrales, dejando la masa y poniendo el 1/2 como factor común.

En el paso 5 nos queda la ecuación que denominaremos energía cinética.

Bien, si F es continua e independiente del tiempo, podemos escribirla como:

Pues a la función V(x) la denominamos energía potencial.

Sustituyamos en la fórmula del trabajo:

En el paso 1 hemos sustituido la ecuación simplemente.

En el paso 2 y 3 hemos operado sustituyendo y haciendo las integrales.

Bien, como podemos observar el trabajo no es más que una variación de la energía potencial, de tal manera que el trabajo siempre es positivo si tendemos a disminuir la energía potencial.

Ahora que tenemos la definición de la energía cinética y potencial, vamos a igualarlas y a operar:

De lo que obtenemos que E=T+V, es decir, E, la denominada energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial.

Lo que significa el resultado anterior es que en 1D y para fuerzas que no dependen del tiempo, la energía mecánica es una constante del movimiento.

Bien, calculemos ahora la energía potencial para diversas fuerzas, empecemos con la ley de Hooke, que es una fuerza independiente del tiempo también.

Sustituyamos:

En el paso 1 hemos cogido la ecuación que liga el potencial y la fuerza, hemos despejado el potencial en el paso 2.

En el paso 3 hemos sustituido la fuerza por la ecuación de la ley de Hooke.

En el paso 4 hemos resuelto la ecuación y nos ha quedado el potencial relacionándolo con la ley de Hooke.

Veamos ahora que ocurre con la fuerza gravitatoria., también independiente del tiempo.

Sustituyamos ahora igual que antes:

El paso 1 es la ecuación normal de la fuerza gravitatoria.

En el paso 2 hemos sustituido esa fuerza en la ecuación del potencial, exactamente igual que en el ejemplo anterior.

En el paso 3 y ya con todo despejado obtenemos el potencial gravitatorio.

Espero que esta entrada demostrando algunas de las fórmulas más conocidad os haya resultado interesante.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios. 

Gracias.